Aby zdefiniować wektory w rozmaitości postępuje się następująco: w każdym punkcie rozmaitości definiuje się przestrzeń styczną utworzoną z wektorów stycznych do krzywych leżących rozmaitości. Przestrzeń styczna jest już przestrzenią wektorową. Tu definiuje się wektory zaczepione do punktu Mogą one reprezentować np. pola fizyczne, obecne w poszczególnych punktach rozmaitości.
Wektory na rozmaitości Na wektorach określonych w przestrzeniach stycznych można wykonywać zwykłe operacje jak dodawanie, mnożenie przez skalar, czy iloczyn skalarny wektorów. Długości wektorów nie określa jednak norma, jak to jest w przestrzeniach euklidesowych, ale tzw. pseudonorma, która przyjmuje wartości zerowe także dla niektórych wektorów niezerowych.
Metryka w przestrzeni pseudoriemannowskiej Powierzchnia hiperboloidy obrotowej, czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości pseudoriemannowskie.
Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. przestrzeń euklidesowa.