Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.
Niech będzie rozmaitością wymiaru i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe
Odległość infinitezymalna Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora łączącego punkt z infinitezymalnie odległym punktem zadana jest wzorem
gdzie:
to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia ).
Odległość dowolnych punktów Dla punktów rozmaitości dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty czyli
gdzie: – infimum, czyli kres dolny zbioru, – długość krzywej
przy czym krzywa dana jest przez równań parametrycznych
oraz
Dla przestrzeni riemannowskich (np. sfera) i pseudoriemannowskich (np. pseudosfera) odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. (W przypadku sfery będzie to łuk koła wielkiego, łączącego dwa dane punkty). Czasoprzestrzeń jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską. Odległość w przestrzeniach pseudoriemannowskich może być zerowa. Np. w czasoprzestrzeni jest tak dla punktów – tzw.