Przestrzeń styczna do -wymiarowej rozmaitości różniczkowej w punkcie to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Wektory te rozpinają -wymiarową przestrzeń liniową co pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej. Poniższa konstrukcja formalizuje tę intuicję.
Krzywą klasy na przechodzącą przez punkt nazwiemy odwzorowanie klasy dowolnego przedziału w takie, że . Oznaczmy zbiór krzywych klasy przechodzących przez punkt przez . W dokonamy utożsamienia krzywych, które po przeniesieniu do za pomocą pewnej mapy mają równy wektor styczny w zerze. Mianowicie w wprowadźmy relację
Relacja jest relacją równoważności. Relacja ta nie zależy od wyboru mapy . Oznaczmy zbiór klas abstrakcji relacji przez . nazywamy przestrzenią styczną do w punkcie .
Zdefiniujmy funkcję wzorem , gdzie oznacza klasę abstrakcji krzywej . jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z do . Działania dodawania wektorów z i mnożenia ich przez skalar definiujemy mianowicie w następujący sposób.
,
Struktura liniowa w uzyskana w ten sposób nie zależy od wyboru mapy .
Mapa w otoczeniu punktu na -wymiarowej rozmaitości indukuje bazę daną wzorami
gdzie oznacza bazę standardową . Bazę tę nazywamy bazą naturalną dla mapy .