Odwzorowaniem stycznym funkcji różniczkowalnej w punkcie nazywamy odwzorowanie dane wzorem
Odwzorowanie styczne przyjmuje jako argumenty wektory styczne z i "przenosi je" do przestrzeni stycznej analogicznie do pochodnej funkcji , która przenosi wektory z do . Odwzorowanie nazywa się również pochodną funkcji w punkcie lub różniczką funkcji w punkcie i oznacza lub podobnie.
Korzystając z mapy w otoczeniu punktu oraz mapy w otoczeniu punktu można badanie różniczkowalnej funkcji sprowadzić do badania odwzorowania . Wówczas odwzorowanie styczne można zinterpretować jako pochodną w sensie zwykłego rachunku różniczkowego na .
Pola tensorowe na rozmaitościach
Niech oznacza zbiór tensorów typu -krotnie kowariantnych i -krotnie kontrawariantnych na przestrzeni liniowej . Funkcję taką, że nazywamy polem tensorowym typu na -krotnie kowariantnym i -krotnie kontrawariantnym. Innymi słowy pole tensorowe to funkcja, która każdemu punktowi przyporządkowuje tensor na przestrzeni stycznej do rozmaitości w tym punkcie.
W bazie naturalnej dla mapy można pole tensorowe na -wymiarowej rozmaitości przedstawić lokalnie tzn. w dziedzinie tej mapy w następujący sposób
gdzie oznacza iloczyn tensorowy, a oznacza bazę dualną do bazy tzn. daną wzorami