Funkcje nazywamy naturalnymi współrzędnymi pola (w mapie ). Jeżeli funkcje te są klasy (gładkie) w punkcie to pole nazywamy klasy (gładkim) w punkcie . Definicja ta nie zależy od wyboru mapy. Pole nazywamy klasy (gładkim) jeżeli jest klasy (gładkim) w każdym punkcie rozmaitości.
Rachunek różniczkowy i całkowy na rozmaitościach
Bardzo ważnymi polami tensorowymi są antysymetryczne, kowariantne pola tensorowe, czyli formy różniczkowe, ponieważ to jedyne pola tensorowe, które można całkować. W lokalnym układzie współrzędnych można lokalnie, tzn. w dziedzinie mapy , przedstawić -formę różniczkową na -wymairowej rozmaitości różniczkowej w postaci
gdzie oznacza tzw. iloczyn zewnętrzny.
Jeżeli forma różniczkowa na ma nośnik zwarty i zawarty w dziedzinie mapy to całkę z niej definiujemy
gdzie to forma cofnięta przez parametryzację . jest już formą różniczkową na zbiorze otwartym w i całkę z niej można zdefiniować jako całkę Lebesgue'a.
W przypadku ogólnej formy różniczkowej na zwartej rozmaitości różniczkowej korzystamy z gładkiego rozkładu jedynki, żeby przedstawić w postaci
ma już nośnik zwarty i zawarty w dziedzinie pewnej mapy w związku z czym możemy zdefiniować