Odpowiedź daje następujące Stwierdzenie Niech oraz będą nietrywialnymi grupami. Każda podgrupa w jest jej podiloczynem wtedy i tylko wtedy, gdy mają skończone, względnie pierwsze rzędyKonieczność. Niech Wówczas jest podiloczynem zatem Na mocy (poniższego) lematu mają skończone, względnie pierwsze rzędy.Dostateczność. Niech będzie podgrupą i niech Ponieważ rzędy są względnie pierwsze, to dowód (poniższego) lematu daje skąd zatem gdzie oraz .
wykorzystujące poniższy Lemat Niech oraz będą nietrywialnymi grupami. Wówczas jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy i są skończonymi grupami cyklicznymi o względnie pierwszych rzędachKonieczność. Niech będzie cykliczna, tj. Niech tak, by dla pewnej liczby całkowitej W ten sposób oraz oznacza to, że a ma skończony rząd i podobnie ma skończony rząd, a Niech oznacza rząd elementu Wówczas Jednakże jeśli to dlatego tzn. Dostateczność. Niech gdzie przy czym Zachodzi Ale pociąga dlatego Skoro to Zatem ma rząd a więc .
Twierdzenie Niech będą grupami. Niech będzie podgrupą w Niech oraz Wówczas są podgrupami w dla których a odwzorowanie dane wzorem gdzie jest izomorfizmem. Co więcej: jeśli to oraz centrum Niech będą podgrupami w i niech będzie izomorfizmem. Wówczas jest podgrupą Zakładając ponadto oraz otrzymuje się Konstrukcje podane w 1. i 2.