Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej przebiega jak następuje: ponieważ
Odjęcie tych równań stronami daje:
Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez jest
czyli
Stąd wynik zastosowania obu operatorów i na funkcję zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.
Pierścienie i algebry z gradacją Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako
Różniczkowania Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej
Wówczas jest różniczkowaniem, a jest liniowe, np. oraz i homomorfizmem algebry Liego, np. ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość w ogólności nie zachodzi.
Przykłady:
Komutator w fizyce Komutator jest często używany w fizyce kwantowej: W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona komutatorami, tzn. gdzie oraz stają się operatorami w przestrzeni Hilberta.