bazowych:
Współczynniki są (z definicji) pochodnymi cząstkowymi w punkcie względem Stąd, jeżeli jest różniczkowalna na całej przestrzeni to można napisać zwięźlej:
W przypadku jednowymiarowym powyższa równość ma postać
jak wyżej.
Pomysł ten uogólnia się w jakobianie (i ogólniej pochodnej Frécheta) wprost na funkcje Co więcej, definicja ta ma decydującą przewagę nad innymi definicjami pochodnej w tym, iż jest niezmiennicza ze względu na zmianę współrzędnych. Oznacza to, że w ten sam sposób można zdefiniować różniczkę odwzorowania gładkiego między rozmaitościami gładkimi.
Uwaga Istnienie wszystkich pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie jest warunkiem koniecznym istnienia różniczki w nie jest to jednak warunek dostateczny; zob. kontrprzykłady w artykule pochodna Gâteaux.
Geometria algebraiczna
W geometrii algebraicznej różniczki i inne pojęcia nieskończenie małej traktuje się dość dosłownie przyjmując, że pierścień współrzędnych lub snop struktury przestrzeni może zawierać elementy nilpotentne. Najprostszym przykładem jest pierścień liczb dualnych gdzie