liczymy sumaryczne prawdopodobieństwo otrzymania wartości należącej do prostokąta to jest równa wartości całki z funkcji gęstości oznaczonej granicami przedziałów:
Twierdzenie o niezależności zmiennych losowych Zmienne losowe posiadające swoje funkcje gęstości
są niezależne, jeżeli funkcja jest gęstością wektora losowego czyli prawdziwe jest równanie:
Gęstość warunkowa
Gęstość warunkowa względem zdarzenia Gęstość warunkowa zmiennej losowej względem zdarzenia (takiego, że ) jest funkcją opisującą rozkład zmiennej przy założeniu, że zaszło zdarzenie .
Jeżeli zmienna ma gęstość , to gęstość warunkowa dana zdarzeniem jest określona wzorem
gdzie jest funkcją wskaźnikową zbioru .
Gęstość warunkowa względem zmiennej losowej Bardziej ogólnie, dla dwóch ciągłych zmiennych losowych i , mających wspólną gęstość , gęstość warunkowa zmiennej pod warunkiem jest określona wzorem
o ile
Funkcja spełnia warunek normalizacji
Warunkowa wartość oczekiwana a gęstość warunkowa Jeżeli istnieje gęstość warunkowa , to warunkową wartość oczekiwaną można obliczyć ze wzoru
W ten sposób gęstość warunkowa odgrywa dla warunkowej wartości oczekiwanej tę samą rolę, jak zwykła gęstość prawdopodobieństwa dla zwykłej wartości oczekiwanej. Przykład gęstości warunkowej
Niech zmienne losowe i mają wspólną gęstość