zbadać dodatnią (ujemną) określoność
dla
co sprowadza się do badania formy kwadratowej
gdzie:
Warunek jest równoważny równaniu
które w postaci macierzowej przybiera formę
Do badania określoności tej macierzy można stosować kryterium Sylvestera.
W praktyce, gdy wprowadzamy funkcję pomocniczą
i szukamy dla niej warunków koniecznych na istnienie jej ekstremów, jako funkcji dwóch zmiennychPor. Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny., tj. rozwiązaniu układu równań a następnie wyrugowaniu z tego układu równań czynnika nieoznaczonego Do otrzymanego warunku dołączamy warunek Równoważnie, wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi można wyznaczyć z układu równań
gdzie oznacza jakobian funkcji i
Przykład – ekstrema funkcji na okręgu thumb|300px|Wykresem funkcji jest płaszczyzna. W przestrzeni trójwymiarowej równanie powierzchnię boczną walca (którego podstawą jest leżący na płaszczyźnie okrąg jednostkowy). Badanie istnienia ekstremów warunkowych sprowadza się w tym wypadku do analizy punktów ekstremalnych części wspólnej walca i płaszczyzny. Ilustracją zastosowania metody mnożników Lagrange’a jest problem wyznaczenia ekstremów funkcji:
na okręgu jednostkowym, tj.