przy warunku
Zatem funkcja jest postaci
a funkcja wyraża się wzorem:
Wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi są rozwiązaniami układu równań
Przy założeniu z pierwszego równania uzyskujemy analogicznie z drugiego więc oraz dostaje się warunek skąd wynika Funkcja może zatem przyjmować ekstrema tylko w punktach Ponieważ okrąg jest zbiorem domkniętym i ograniczonym (czyli zwartymNa mocy twierdzenia Heinego-Borela.), więc na mocy twierdzenia Weierstrassa, funkcja osiąga w tych punktach ekstrema (warunkowe): minimum warunkowe: maksimum warunkowe:
Warto zauważyć, że funkcja określona na całej płaszczyźnie (bez dodatkowego warunku) nie ma ekstremów.
Przykład – problem maksymalnej entropii Problem polega na znalezieniu dyskretnego rozkładu zmiennej losowej maksymalizującego entropię. Funkcja entropii prawdopodobieństw wyraża się wzorem
Oczywiście, suma prawdopodobieństw jest równa jeden, więc warunek na przyjmuje postać
Stosując metodę mnożników Lagrange’a, dostajemy układ równań:
który sprowadza się do układu
Różniczkując każde wyrażenie względem powyższy układ sprowadza się do poniższego:
Z powyższego wynika, że wszystkie prawdopodobieństwa są równe, tj.