Mówi ono, że istnieje funkcja użyteczności z dziedziną na zbiorze loterii i wartościach rzeczywistych reprezentująca relację preferencji w takim sensie, że wtedy i tylko wtedy gdy Co więcej, z aksjomatu niezależności dodatkowo wynika, że funkcja użyteczności reprezentująca preferencje na loteriach musi być funkcją liniową prawdopodobieństw, tzn. gdzie jest dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej
Historia Idea, że ludzie mogą maksymalizować wartość oczekiwaną abstrakcyjnej funkcji użyteczności zamiast maksymalizować po prostu monetarną wartość oczekiwaną została zaproponowana niezależnie przez matematyków, Gabriela Cramera i Daniela Bernoulliego jako rozwiązanie problemu postawionego przez kuzyna Daniela, Nicolausa BernoulliegoBernoulli Daniel, Specimen theoriae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (1738).. Problem ten znany jest obecnie jako paradoks petersburski.