Lapunow utrzymywał kontakty naukowe z Andriejem Markowem przez całe swoje życie. W 1884 roku Lapunow obronił swoją pracę magisterską O stabilności elipsoidalnych form równowagi płynów wirujących. Temat pracy podsunął mu Pafnutij Czebyszew, który wcześniej zachęcał do niego także innych swoich podopiecznych takich jak Zololarew i Sofja Kowalewska. Praca ta została opublikowana w 1885 roku w Biuletynie Astronomicznym i została w całości przetłumaczona na język francuski w 1904 roku przyciągając uwagę matematyków, fizyków i astronomów z Europy.
Kariera akademicka W 1895 roku Lapunow uzyskał status privatdozenta i zaproponowano mu objęcie katedry mechaniki na Uniwersytecie w Charkowie, gdzie przeniósł się w tym samym roku. Zaczynając w Charkowie Lapunow musiał przygotować materiały do wykładów co ograniczyło jego działalność naukową. Jeden z jego studentów i późniejszych współpracowników wspomina pierwszy wykład Lapunowa: Przystojny młody człowiek, niewiele starszy od swoich studentów stanął przed słuchaczami, wśród których był też były dziekan, profesor Lewakowski, szanowany przez wszystkich studentów. Gdy dziekan wyszedł młody człowiek drżącym głosem zaczął swój wykład na temat dynamiki punktów materiałów, zamiast wykładu na temat układów dynamicznych.