Poruszona tematyka była już znana studentom z wykładów profesora Delarue, ale to o czym uczył Lapunow było dla mnie czymś zupełnie nowym, materiałem jakiego nie widziałem nigdy w żadnym podręczniku. Od razu cała niechęć do tych wykładów znikła. Od tamtego dnia studenci traktowali Lapunowa ze szczególnym poważaniem.
W 1892 roku Lapunow obronił swoją pracę doktorską zatytułowaną Ogólny problem stabilności ruchu. Obrona doktoratu odbyła się na Uniwersytecie Moskiewskim w dniu 12 września 1892 roku przed komisją, w której zasiadali Nikołaj Żukowski i W. B. Młodzejewski. Podobnie jak praca magisterska także i praca doktorska została przetłumaczona na język francuski. W kolejnym roku Lapunow objął stanowisko profesora na Uniwersytecie w Charkowie.
W 1902 roku Lapunow powrócił do Sankt Petersburga, był wówczas mianowanym, czynnym członkiem Akademii Nauk, jak i profesorem zwyczajnym na wydziale matematyki tego uniwersytetu. Lapunow objął wolne stanowisko, jakie pozostawił po swojej śmierci jego były opiekun naukowy Pafnutij Czebyszew.