W XIX wieku Augustinowi Cauchy’emu i – przede wszystkim – Karlowi Weierstrassowi udaje się zdefiniować pojęcie granicy. Umożliwia to Bernhardowi Riemannowi, w wydanej rok po jego śmierci pracy, sformalizowanie tego, co dziś nazywa się całką Riemanna. Idea całkowania według tego ostatniego polega na wypełnianiu prostokątami obszaru pod wykresem, a następnie wzięciu granicy sum uzyskanych pól (zob. ilustracje). Istnieją jednakże funkcje, dla których całkowity obszar tak branych prostokątów nie dąży w granicy do jednej liczby; oznacza to, że funkcje te nie mają całki Riemanna.
Powyższa definicja, choć dość dobrze odpowiada intuicji „pomiaru pola”, ma również istotne ograniczenia. Najważniejszym jest „mała elastyczność” operacyjna objawiająca się problemami podczas wyznaczania całek z granicy ciągu funkcji; w szczególności całka z funkcji granicznej może w ogóle nie istnieć. Kwestia ta miała pierwszorzędne znaczenie w powstającej pod koniec XIX wieku teorii szeregów Fouriera;