Następnie korzysta się z faktu, że jest rozszeniem skończonym ciała Skoro tak, to istnieje skończony zbiór taki, że po rozszerzeniu o jego elementy otrzymuje się Ponieważ jest rozszerzeniem o elementy zbioru rozpatrywany zbiór musi zawierać się w Nie trzeba tutaj brać koniecznie całego zbioru wystarczy jego maksymalny liniowo niezależny podzbiór.
Dla każdego elementu zbioru bierze się następnie taki wielomian który po podstawieniu doń przyjmuje wartość (musi on istnieć, bo jest rozszerzeniem o pierwiastki wielomianów z ). Wielomiany te można ze sobą pomnożyć, otrzymując wielomian Oczywiście tak zdefiniowany wielomian Ciało rozkładu tegoż wielomianu stanowi złożenie ciał rozkładów wszystkich wielomianów od do Tak więc Co więcej, każde z rozpatrywanego wyżej zbioru należeć musi do wobec czego i Z obustronnego zawierania się wywodzi się, że Jako że przez oznaczono ciało rozkładu pewnego wielomianu to samo tyczy się tożsamego z nim QED.