ich największy wspólny dzielnik, to dokładnie ).
Przedłużając odcinek do odcinka o długości oraz odkładając na boku odcinek o długości otrzymuje się wraz z punktami również punkt będący punktem przecięcia odcinków oraz Ponadto można wyróżnić dwa równoramienne trójkąty prostokątne oraz podobne do o przyprostokątnych długości i przeciwprostokątnych
Ponieważ to nieujemne długości oraz są mniejsze odpowiednio od oraz i również spełniają (z konstrukcji), co przeczy założeniu minimalności liczb o tej własności. Sprzeczność ta dowodzi, iż nie może być liczbą wymierną.
Dowód arytmetyczny Dowód. Załóżmy nie wprost, że jest liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne oraz że przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, że są względnie pierwsze.