Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu, otrzymuje się skąd Ponieważ jest liczbą parzystą, to i jest parzysta. Skoro kwadrat liczby jest parzysty, to liczba też jest parzystaTwierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą parzystą.Dowód: (→) Jeśli jest parzysta, to równość oznacza, iż jest parzysta, gdyż jest liczbą naturalną jako ich iloczyn. (←) Dowód nie wprost: skoro jest nieparzysta, to co oznacza, że jest nieparzysta jako suma liczby parzystej oraz jedności.; stąd dla pewnej liczby naturalnej Podstawienie tego wyrażenia do poprzedniego równania daje zatem tj. co oznacza, że liczba a stąd także jest parzysta.
Skoro są jednocześnie parzyste, więc nie są względnie pierwsze. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba jest niewymierna.
Własności thumb|Przekrój Dedekinda dla pierwiastka kwadratowego z 2. Poza niewymiernością opisaną w poprzedniej sekcji pierwiastek z 2 ma szereg innych własności; przykładowo połowa wynosząca ok.