zamiast pisze się też każdy morfizm należy do tylko jednej klasy w klasie określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy gdy warunek ten jest spełniony, iloczyn do zbioru Nazywamy go złożeniem morfizmów i oraz oznaczamy lub złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli oraz to wówczas do każdego należy taki morfizm że dla dowolnych morfizmów i mamy oraz Morfizmy nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.
Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.
Jeżeli to piszemy i
Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.
Jeżeli dla każdych obiektów klasa jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.
Przykłady Każda kategoria jest określana przez jej obiekty, morfizmy i regułę składania morfizmów.