Z uwagi na popularność symboli, użyjemy aby oznaczyć wariację funkcjonału. Czytelnik nie powinien tego pomylić z symbolem Kroneckera. Pierwsza wariacja lagranżjanu znika:
Tutaj np.:
gdzie: – sprzężenie zespolone poprzedniego członu.
Ostatecznie pierwsza wariacja lagranżjanu ma postać:
Oba człony muszą znikać niezależnie, wobec tego spinorbitale są funkcjami rzeczywistymi.
Zdefiniujmy operator kulombowski , który opisuje klasyczne elektrostatyczne odpychanie się elektronów. Jest on operatorem lokalnym, więc można go zapisać w postaci jawnej. Całka kulombowska:
Operator wymienny jest nielokalny, więc zapiszemy go jak działa na spinorbital:
Całka wymienna:
Zapiszmy znikającą wariację lagranżjanu za pomocą operatorów i :
Ponieważ wariacja jest dowolna, to wyrażenie jest spełnione, gdy dla dowolnego znika nawias kwadratowy. Prowadzi to do układu równań:
Operator po lewej stronie równania oznaczmy przez i nazwijmy operatorem Foka: