Pole dużego kwadratu można wyrazić na dwa sposoby:
1) jako kwadrat o boku : ,
2) złożenie kwadratu z czterech trójkątów prostokątnych i mniejszego kwadratu na przeciwprostokątnej: .
Porównując obie strony równania:
oraz po odjęciu od obu stron otrzymujemy klasyczne równanie Pitagorasa: , q.e.d.
Dowód ten jest czysto algebraiczną wersją układanki geometrycznej, pokazującą, że suma pól czterech trójkątów i pola kwadratu na przeciwprostokątnej równa się polu całego dużego kwadratu.
Dowód z twierdzenia Ptolemeusza mały|Prostokąt wpisany w okrąg
Dowód ten wykorzystuje twierdzenie Ptolemeusza o czworokącie wpisanym w okrąg.
Rozważmy trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku , gdzie: , , .
Wpiszmy ten trójkąt w okrąg. Z twierdzenia Talesa wynika, że przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu.
Niech będzie punktem na okręgu takim, że oraz Wówczas czworokąt jest prostokątem wpisanym w okrąg, a zatem: , , .
Z twierdzenia Ptolemeusza dla czworokąta wpisanego w okrąg otrzymujemy zależność:
Podstawiając odpowiednie długości boków:
Stąd: , q.e.d.
Przez podobieństwo mały|„Trójkąty podobne”
Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: „duży” – „różowy” – i „niebieski” – są podobne.