mały|Suma pól kwadratów czerwonego i niebieskiego jest równa polu kwadratu fioletowego
Twierdzenie Pitagorasa – twierdzenie geometrii euklidesowej o trójkątach prostokątnych. Mówi ono, że w każdym z nich suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi równość:
Innymi słowy boki trójkąta prostokątnego spełniają równanie Pitagorasa. Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Twierdzenie to jest równoważne piątemu postulatowi Euklidesa o prostych równoległych.
Historia W zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisuje się je żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, jednak odkrycia dokonali Babilończycy, którzy znali dodatkowo dwie prostsze metody, przy których błąd jest niewielkiA.T. Olmstead, Dzieje imperium perskiego, PIW, Warszawa 1974, s. 31, 206.H.W.F. Saggs, Wielkość i upadek Babilonii, Warszawa 1973, PIW, s. 400.. Zapewne znali je przed Pitagorasem starożytni EgipcjanieW piramidzie Cheopsa tak zwana komnata królewska ma wymiary o stosunku 3, 4 i 5 (bok jednej ściany, przekątna drugiej i przekątna komnaty).. Wiadomo też, że jeszcze przed nim znano je w starożytnych Chinach i Indiach oraz w Babilonii.
Dowody
mały|Animacja dowodu twierdzenia Pitagorasa
Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze. Opublikowano przynajmniej 118 geometrycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa, a Friedrichs udowodnił, że jest ich nieskończenie wiele.
Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobnie dowód Pitagorasa), a jeszcze inne wykorzystują równości pól pewnych figur.
Układanka mały|Dowód – układanka
Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości i jak na rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.
Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.
Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.
Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach. Dowód geometryczno-algebraiczny
Możemy uzyskać dowód w pełni algebraiczny, rozpoczynając od tego samego układu trójkątów prostokątnych ułożonych w kwadrat o boku . Pole dużego kwadratu można wyrazić na dwa sposoby:
1) jako kwadrat o boku : ,
2) złożenie kwadratu z czterech trójkątów prostokątnych i mniejszego kwadratu na przeciwprostokątnej: .
Porównując obie strony równania:
oraz po odjęciu od obu stron otrzymujemy klasyczne równanie Pitagorasa: , q.e.d.
Dowód ten jest czysto algebraiczną wersją układanki geometrycznej, pokazującą, że suma pól czterech trójkątów i pola kwadratu na przeciwprostokątnej równa się polu całego dużego kwadratu.
Dowód z twierdzenia Ptolemeusza mały|Prostokąt wpisany w okrąg
Dowód ten wykorzystuje twierdzenie Ptolemeusza o czworokącie wpisanym w okrąg.
Rozważmy trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku , gdzie: , , .
Wpiszmy ten trójkąt w okrąg. Z twierdzenia Talesa wynika, że przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu.
Niech będzie punktem na okręgu takim, że oraz Wówczas czworokąt jest prostokątem wpisanym w okrąg, a zatem: , , .
Z twierdzenia Ptolemeusza dla czworokąta wpisanego w okrąg otrzymujemy zależność:
Podstawiając odpowiednie długości boków:
Stąd: , q.e.d.
Przez podobieństwo mały|„Trójkąty podobne”
Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: „duży” – „różowy” – i „niebieski” – są podobne. Niech i Można napisać proporcje:
Stąd:
i po dodaniu stronami: , q.e.d.
Z przystawania mały|Jeden z dowodów Euklidesa
Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe polom odpowiednich prostokątów, na jakie wysokość dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.
Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu jest równe podwojonemu polu trójkąta – podstawą trójkąta jest bok kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta jest równe podwojonemu polu trójkąta – podstawą trójkąta jest bok prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi prostokąta. Jednak trójkąty i są przystające, co wynika z cechy „bok-kąt-bok” – i kąt jest równy kątowi – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu jest równe polu prostokąta
Analogicznie, rozważając trójkąty i można udowodnić, że pole kwadratu jest równe polu prostokąta Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu
Dowód Garfielda mały|„Ilustracja dowodu Garfielda”
Autorem innego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten jest równoważny dowodowi podanemu wyżej w sekcji Dowód – układanka. Pochodzi z roku 1876 i przebiega następująco: na przyprostokątnej danego trójkąta prostokątnego odkładamy a następnie na prostej równoległej do odkładamy Trójkąt jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi pola trójkątów i są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez o polu Stąd równości:
, q.e.d.
Dowód Jasona Zimby Wybierzmy dowolne dwa kąty takie że 0 < y < x < 90°, wówczas korzystając z wzorów na cos i sin różnicy kątów mamy
Dzieląc obustronnie przez otrzymujemy dowód jedynki trygonometrycznej, która jest jedną z postaci twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenie odwrotne
mały|Kąt prosty w trójkącie egipskim
Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN) [dostęp 2025-08-07]. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN) [dostęp 2025-08-07].:
Jeśli dane są trzy dodatnie liczby i takie, że to istnieje trójkąt o bokach długości i a kąt między bokami o długości i jest prosty.
Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach 3 i 4.
Dowód Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.
My to udowodnimy następująco:
Weźmy dowolny trójkąt o bokach odpowiednio:
spełniający warunek:
Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt taki że:
oraz
Trójkąt jest prostokątny, zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok
Z trójkąta mamy:
zatem:
Okazało się, że:
Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty i są przystające. Z faktu, iż trójkąt jest prostokątny, wynika, że trójkąt jest prostokątny.
Uogólnienia
Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podane już przez Euklidesa w jego Elementach: jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.
Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesową Niech będzie przestrzenią euklidesową oraz Jeśli to
Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeniach euklidesowych to tożsamość Parsevala.
Uogólnienie na czworościany Twierdzenie Pitagorasa można uogólnić na czworościan. Jeśli w czworościanie o wierzchołkach a, b, c, d przez oznaczymy pola ścian leżących naprzeciw wierzchołków odpowiednio a, b, c, d, oraz ściany zbiegające się w wierzchołku a są parami prostopadłe, to zachodzi szczególny przypadek twierdzenia cosinusów dla czworościanów:
Uogólnienie na prostopadłościany Jako uogólnienie twierdzenia Pitagorasa można uważać wzór na przekątną prostopadłościanu.
Jeśli w prostopadłościanie krawędzie mają długości to kwadrat przekątnej prostopadłościanu jest równy:
Twierdzenie cosinusów Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów: Jeśli w trójkącie o bokach długości i oznaczyć przez miarę kąta leżącego naprzeciw boku to prawdziwa jest równość:
Twierdzenie Pitagorasa a geometrie nieeuklidesowe Twierdzenie nie jest prawdziwe dla trójkątów prostokątnych geometrii nieeuklidesowej.
Na powierzchni kuli twierdzenie to nie jest spełnione, gdyż obowiązuje tam geometria sferyczna będąca szczególnym przypadkiem nieeuklidesowej geometrii Riemanna.
Zobacz też
trójki pitagorejskie twierdzenie Dijkstry o trójkątach twierdzenie Talesa
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Geometria – twierdzenie Pitagorasa, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-28]. Kilka dowodów twierdzenia Pitagorasa
Pythagorean theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18]. Betty Fei, How many ways are there to prove the Pythagorean theorem?, kanał TED-Ed na YouTube, 11 września 2017 [dostęp 2024-08-22]. Dziesiątki dowodów twierdzenia Pitagorasa (pliki Geogebry)
P Kategoria:Artykuły, które powinna mieć każda Wikipedia (od 10 do 30k)