W powyższej zależności jest dzielnikiem takim, że dla parzystego parametr jest również parzysty, a dla nieparzystego jest nieparzysty. Dla wartości parametru i (z wyjątkiem liczb typu ) otrzymujemy trójki pierwotne. Dla pozostałych dzielników tworzone są pozostałe i możliwe kombinacje trójek pitagorejskich dla zadanego
Dla i zależność jest następująca:
Dla i zależność jest następująca:
co łatwo udowodnić, podstawiając za i ogólne wyrażenia. Nie otrzyma się w ten sposób np. trójki i wielu innych.
Rodziny trójek pitagorejskich +Nazwa rodzinyWłaściwośćPrzykładyPitagorasPlatonFermat Członkowie tych rodzin mogą być identyfikowani poprzez zastosowanie formuły Euklidesa do licznika i mianownika w ciągach ułamków, w szczególności w ciągach pochodzących z okresowych ułamków łańcuchowych irracjonalnych liczb kwadratowych.
Rozwiązanie zespolone z użyciem liczb Gaussa Niech oznacza jedną z dwóch liczb zespolonych, których kwadrat jest równy
Liczby postaci gdzie oraz są liczbami całkowitymi, nazywamy liczbami Gaussa. Tworzą one pierścień Gaussa. W pierścieniu Gaussa istnieją dokładnie cztery jedności, czyli liczby multiplikatywnie odwracalne:
(Liczbę 1 nazywamy jedynką).