Zapiszmy równanie równoważnie:
Każdy dzielnik liczb oraz jest też dzielnikiem ich sumy oraz różnicy a więc liczby 2. Zakładając, jak we wcześniejszych fragmentach, że jest rozwiązaniem pierwotnym, liczby oraz są ponadto różnej parzystości, więc oraz są względnie pierwsze. Skoro tak, to są one kwadratami liczb Gaussa, pomnożonymi przez jedność, to znaczy: istnieją liczby całkowite (wymierne) oraz oraz jedność gaussowska (równa lub lub lub ), dla których:
Drugie równanie wynika z pierwszego. Wystarczy rozpatrywać przypadki oraz jako że oraz Dla otrzymujemy:
Gdy to otrzymujemy:
skąd:
Wprowadźmy liczby oraz Oczywiście Pokazaliśmy, że dla dowolnego rozwiązania pierwotnego równania istnieją całkowite liczby dodatnie oraz (wymierne), takie że odpowiednio: lub lub
Rozwiązanie geometryczne mały|400px|Parametryzacja rozwiązań równań Pitagorasa za pomocą wymiernego parametru
Można prosto rozwiązać równanie
korzystając z narzędzi elementarnej geometrii algebraicznej. Z rozwiązań wymiernych tego równania otrzymujemy rozwiązania całkowite, mnożąc liczby wymierne przez ich wspólny mianownik. Zauważmy ponadto, że jeśli to jedynym rozwiązaniem równania
jest trójka liczb (0, 0, 0).