Po podstawieniu do dla z wynika, że:
(bo ), skąd:
Podstawiając obliczoną wartość do równania , otrzymujemy
W ten sposób wszystkie rozwiązania wymierne równania wyrażone są za pomocą wymiernego parametru Otrzymaliśmy tożsamość:
lub równoważnie:
Po podstawieniu gdzie i są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi i pomnożeniu równania przez
Wtedy każde rozwiązanie całkowite równania w liczbach względnie pierwszych wyraża się wzorami:
Liczby całkowite definiują rozwiązania całkowite dodatnie równania .
Konstrukcja z małego twierdzenia Fermata Podejrzewając, że Fermat odkrył twierdzenie małe jako lemat by w prosty sposób udowodnić twierdzenie wielkie liczby pitagorejskie można konstruować bezpośrednio z małego twierdzenia Fermata działającego w jego najprostszej formie, tzn. dla liczby pierwszej postępując tak jak byśmy chcieli z niego udowodnić twierdzenie wielkie.
Przepiszmy równanie Pitagorasa tak abyśmy mogli go bezpośrednio zastosować
Używając stronami twierdzenia małego otrzymujemy warunek że musi być podzielne przez tzn.
Wstawiając równanie na do równania Pitagorasa otrzymujemy równanie na względem i