Pojęcie rozmaitości uogólnia pojęcia krzywej i powierzchni na przestrzenie wielowymiarowe.
Wczesny rozwój Zanim powstało nowoczesne pojęcie rozmaitości, osiągnięto już kilka wyników.
Geometrie nieeuklidesowe Geometria nieeuklidesowa opisuje przestrzenie, gdzie nie obowiązuje piąty aksjomat Euklidesa. Szczegółowe badania tej geometrii rozpoczął Saccheri w 1733 roku. Łobaczewski, Bolyai i Riemann rozwijali je 100 lat później. Ich badania doprowadziły do odkrycia dwóch nowych rodzajów przestrzeni, w których obowiązują geometrie inne od euklidesowej – hiperboliczna i eliptyczna. Dlatego przestrzenie te różnią się od klasycznej przestrzeni euklidesowej. W nowoczesnej teorii rozmaitości określa się je jako rozmaitości riemannowskie odpowiednio o stałej ujemnej i stałej dodatniej krzywiźnie.
Krzywizna powierzchni – własność wewnętrzna Carl Friedrich Gauss był prawdopodobnie pierwszym matematykiem, który rozważał abstrakcyjne przestrzenie jako obiekty matematyczne. Jego twierdzenie Theorema Egregium stwierdza, że krzywizna powierzchni jest jej wewnętrzną własnością, bo można ją obliczyć, nie odwołując się do własności przestrzeni, w której powierzchnia jest zanurzona.