Powierzchnie o własnościach zakładanych przez Gaussa nazywamy rozmaitościami.

Teoria rozmaitości skupiła swoje badania na odkrywaniu własności wewnętrznych (niezmienników), w zasadzie pomijając właściwości zewnętrznej przestrzeni.

thumb|200px|Najprostszy podział torusa, pozwalający obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu W= 1, K = 2, S = 1).

Charakterystyka Eulera – własność topologiczna Innym, topologicznym przykładem wewnętrznej własności rozmaitości jest charakterystyka Eulera. Leonhard Euler wykazał najpierw, że dla wypukłego wielościanu (czyli wielokomórki w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej) słuszna jest zależność

gdzie: – liczba wierzchołków, – liczba krawędzi, – liczba ścian.

Następnie pokazał, że reguła ta pozostanie słuszna, jeśli dokona się rzutu wierzchołków i krawędzi na sferę, tworząc mapę topologiczną. Wynika z tego, że liczba 2 jest niezmiennikiem sfery, zwanym jej charakterystyką Eulera.

(Ten sam wynik uzyska się, jeśli dokona się podziału powierzchni za pomocą dowolnych linii w niej zawartych, które przecinają się. Np.