dzieląc sferę za pomocą południka i równoleżnika, otrzyma się W = 2 wierzchołki, K = 4 krawędzie i S = 4 ściany; charakterystyka Eulera dla sfery wynosi więc 2.)
Inaczej jest na torusie: dzieląc jego powierzchnię za pomocą jednego równoleżnika i jednego południka otrzyma się W = 1 wierzchołek, K = 2 krawędzie i S = 1 ścianąWarto to sprawdzić wykonując osobiście prosty eksperyment, np. rysując linie na zwiniętej w pierścień tasiemce papieru.; charakterystyka Eulera dla torusa wynosi więc 0 (bo 1 – 2 + 1 = 0).
Charakterystyka Eulera stanowi niezmiennik topologiczny danej powierzchni, tzn. deformacja powierzchni za pomocą np. ciągłego rozciągania (bez rozrywania) zachowuje ten niezmiennikŁatwo to sprawdzić – np. rysując linie na piłeczce pingpongowej czy jajku otrzymamy zawsze charakterystykę Eulera równą 2..
Charakterystyka Eulera może być uogólniona na rozmaitości topologiczne o wyższych wymiarach.
Synteza Niels Henrik Abel i Carl Gustav Jakob Jacobi, prowadząc badania nad odwrotnością całek eliptycznych w pierwszej połowie XIX wieku, doszli do rozważań nad szczególnymi rozmaitościami zespolonymi, zwanymi dzisiaj Jacobianami.