Bernhard Riemann uzupełnił ich teorię, wyjaśniając znaczenie przedłużenia analitycznego funkcji zmiennej zespolonej.
Innym ważnym źródłem rozwoju idei rozmaitości w matematyce XIX wieku była mechanika analityczna – wersja mechaniki klasycznej rozwinięta przez Siméon Poissonna, Jacobiego i Williama Hamiltona. Możliwe stany układu mechanicznego zostały zdefiniowane tam jako punkty w abstrakcyjnej przestrzeni, przestrzeni fazowej, której wymiar jest równy liczbie stopni swobody układu, a punkty są zadane przez współrzędne uogólnione. Przestrzeń fazowa jest w ogólnym przypadku wielowymiarową rozmaitością. Jedynie w przypadku ruchu cząstek swobodnych (tj. nie poddanych działaniu więzów) rozmaitość sprowadza się do przestrzeni euklidesowej.
Riemann jako pierwszy wykonał wiele prac nad uogólnieniem pojęcia powierzchni w wyższych wymiarach. Nazwa rozmaitość pochodzi od pierwotnej niemieckiej nazwy Mannigfaltigkeit, wymyślonej przez Riemanna i oznaczającej różnorodność. W swoim wykładzie inauguracyjnym w Getyndze Riemann opisał zbiór wszystkich możliwych wartości zmiennej z pewnymi ograniczeniami jako Mannigfaltigkeit, ponieważ zmienna może mieć wiele wartości. Jako przykłady wartości Riemann podawał nie tylko kolor czy położenie w przestrzeni, ale także wszystkie możliwe kształty.