Korzystając z indukcji, dokonał konstrukcji rozmaitości n-wymiarowych jako stos rozmaitości (n -1)- wymiarowych.
Hermann Weyl podał szczegółową definicję rozmaitości różniczkowalnych, otwierając drogę do ogólnego pojęcia przestrzeni topologicznej.
Przykłady rozmaitości Krzywe Okrąg
thumb|Ilustracja 1: Każda z czterech map odwzorowuje fragment okręgu do otwartego przedziału i razem obejmują cały okrąg. Po linii okrąg jest najprostszym przykładem rozmaitości topologicznej. W topologii wygięcie nie ma znaczenia, mały fragment okręgu jest traktowany tak samo jak mały fragment linii. Np. dla okręgu jednostkowego, x2 + y2 = 1 (ilustracja 1) rozważmy jego fragment - zbiór otwarty punktów tworzący łuk koloru żółtego. Każdy jego punkt może być jednoznacznie opisany za pomocą współrzędnej x (współrzędne y punktów są tu dodatnie). Wynika stąd, że rzut żółtego fragmentu okręgu na otwarty przedział (–1, 1) na osi x jest ciągły i odwracalny,
Rzut ten nazywa się mapą żółtego fragmentu.
Ogólnie, mapą nazywa się funkcję, która odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie otwarty przedział danej przestrzeni na przestrzeń euklidesową (ściśle: mapa powinna być homeomorfizmem).