Ale na trzech (wspólnych dla piątek) punktach można opisać tylko jeden okrąg, co oznacza, że dziewięć punktów
leży na wspólnym okręgu.
Własności thumb|250px|Styczność okręgu dziewięciu punktów z okręgiem wpisanym i okręgami dopisanymi
Twierdzenie Feuerbacha Karl Wilhelm Feuerbach udowodnił, że w dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych. Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem Feuerbacha.
Inne własności W trójkącie równobocznym spodki wysokości i środki boków pokrywają się, a więc okrąg dziewięciu punktów jest także okręgiem wpisanym w ten trójkąt.
Środek okręgu dziewięciu punktów leży na tzw. prostej Eulera, dokładnie w połowie odcinka pomiędzy ortocentrum tego trójkąta a środkiem okręgu na nim opisanego.