mały|230px

Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są: środki boków (na rysunku niebieskie); spodki wysokości (czerwone); środki trzech odcinków między wierzchołkami a ortocentrum (zielone).

Historia odkrycia W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach, którego nazwiskiem nazywa się czasem okrąg dziewięciu punktów, zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta – środki boków oraz spodki wysokości – leżą na wspólnym okręgu. Odkrycia tego dokonali wcześniej, w 1821 roku, Charles Brianchon i Jean-Victor Poncelet. Jeszcze wcześniej, nad współokręgowością wspomnianych punktów zastanawiali się Benjamin Bevan (1804) i John Butterworth (1807).

Krótko po Feuerbachu, matematyk Olry Terquem niezależnie udowodnił istnienie okręgu i jako pierwszy zauważył, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum. Terquem jako pierwszy użył również nazwy „okrąg dziewięciu punktów”.

Dowód mały|400px

W trójkącie przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku obok: to odpowiednio spodki wysokości opuszczonych z wierzchołków to ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości w trójkącie, to punkty połowiące odcinki to punkty połowiące boki trójkąta:

Rozważmy trójkąt i okrąg na nim opisany. Zauważmy, że kąt jest prosty, jako że jest wysokością trójkąta Oznacza to, że odcinek jest średnicą okręgu opisanego na

Z definicji punktów oraz zachodzi

co oznacza, dzięki twierdzeniu twierdzeniu odwrotnemu do twierdzenia Talesa, że a zatem i

Analogicznie, ponieważ

więc

Ale a co za tym idzie

co oznacza, że trójkąt także jest prosty, a więc punkty leżą na jednym okręgu.

Podobnie pokazujemy, że oraz a korzystając z tego, że otrzymujemy, że trójkąt także jest prostokątny, co oznacza, że punkty leżą na wspólnym okręgu.

Konstrukcję powtarzamy rozpoczynając od punktów i a następnie od i W ich wyniku otrzymujemy, że każda z piątek punktów

oraz

jest współokręgowa. Ale na trzech (wspólnych dla piątek) punktach można opisać tylko jeden okrąg, co oznacza, że dziewięć punktów

leży na wspólnym okręgu.

Własności thumb|250px|Styczność okręgu dziewięciu punktów z okręgiem wpisanym i okręgami dopisanymi

Twierdzenie Feuerbacha Karl Wilhelm Feuerbach udowodnił, że w dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych. Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem Feuerbacha.

Inne własności W trójkącie równobocznym spodki wysokości i środki boków pokrywają się, a więc okrąg dziewięciu punktów jest także okręgiem wpisanym w ten trójkąt.

Środek okręgu dziewięciu punktów leży na tzw. prostej Eulera, dokładnie w połowie odcinka pomiędzy ortocentrum tego trójkąta a środkiem okręgu na nim opisanego.

thumb|250px|Okrąg dziewięciu punktów ma dwukrotnie mniejszy promień, niż okrąg opisany na trójkącie. Porównując trójkąty i łatwo zauważyć, że środek każdego odcinka łączącego ortocentrum z dowolnym punktem na okręgu opisanym leży na okręgu dziewięciu punktów. Promień okręgu opisanego na trójkącie jest dwukrotnie większy od promienia okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta. Wynika to z faktu, że trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta wyjściowego jest od niego dwukrotnie mniejszy.

Okrąg dziewięciu punktów połowi każdy odcinek łączący ortocentrum tego trójkąta z dowolnym punktem na okręgu opisanym.

Każdy z trzech środków odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum jest obrazem środków boków trójkąta w symetrii względem środka okręgu dziewięciu punktów.

Środki wszystkich hiperbol prostokątnych (tj. hiperbol o asymptotach przecinających się pod kątem prostym), które przechodzą przez wierzchołki trójkąta, leżą na okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta. Jest to fakt znany jako twierdzenie stożkowe Feuerbacha.

Przy oznaczeniach jak wyżej, wszystkie trójkąty o wierzchołkach wybranych z punktów będą miały ten sam okrąg dziewięciu punktów. Jest to prawdziwe dla dowolnego układu ortocentrycznego punktów. Wynika to z prostej symetrii: w trójkącie okrąg dziewięciu punktów musi przechodzić przez środki boków oraz Ale są to również te same punkty (środek jednego boku i środki dwóch odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum), przez które musi przechodzi okrąg dziewięciu punktów w trójkącie Wynika z tego od razu, że okręgi opisane na wszystkich czterech trójkątach układu mają ten sam promień.

Środek okręgu dziewięciu punktów jest centroidem czterech punktów: wierzchołków trójkąta oraz jego ortocentrum.

W trójkącie środki okręgów: wpisanego i dopisanych tworzą układ ortocentryczny. Okrąg dziewięciu punktów tego układu jest zarazem okręgiem opisanym na trójkącie wyjściowym. Spodki wysokości w układzie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta. thumb|250px|Okręgi dziewięciu punktów dla nieortocentrycznego układu punktów Na różowo zaznaczono krzywą, przechodzącą przez środki boków trójkątów (na jasnozielono) oraz przez przecięcie wszystkich okręgów (na czerwono), o środku w centroidzie czworokąta (na niebiesko). Na zielono zaznaczono hiperbolę Kieperta, przechodzącą przez cztery punkty wyjściowe punkty, jak i przez ortocentra trójkątów z tych punktów utworzonych, o środku w punkcie przecięcia się okręgów. Animacja pokazuje, co dzieje się, gdy układ punktów staje się ortocentryczny. Jeśli dane są cztery punkty które nie tworzą układu ortocentrycznego, to wtedy cztery okręgi dziewięciu punktów trójkątów i przecinają się w jednym punkcie. Sześć pozostałych punktów przecięć czterech okręgów pokrywa się ze środkami boków trójkątów. Ponadto istnieje dokładnie jedna stożkowa, o środku w centroidzie czterech punktów która przechodzi przez wszystkie siedem punktów przecięć czterech okręgów dziewięciu punktów. Co więcej, na podstawie stożkowego twierdzenia Feuerbacha istnieje dokładnie jedna krzywa stożkowa prostokątna, zwana hiperbolą Kieperta o środku w przecięciu czterech okręgów dziewięciu punktów, która przechodzi przez wszystkie cztery punkty jak i również przez ortocentra czterech powyższych trójkątów. thumb|250px|Na rysunku: okręgi dziewięciu punktów dla trójkątów i okrąg do nich przystający o środku w antycentrum czworoktąta (na czerwono) oraz leżący na tym okręgu obraz czworokąta w jednokładności względem punktu (na fioletowo). Jeśli cztery punkty tworzą czworokąt, który da się wpisać w okrąg, to okręgi dziewięciu punktów trójkątów i przecinają się w punkcie zwanym antycentrum tego czworokąta. Jako że okrąg, w który wpisany jest czworokąt jest również okręgiem opisanym na każdym z trójkątów powyżej, każdy z okręgów dziewięciu punktów tych trójkątów będzie miał taki sam promień, wynoszący połowę długości promienia okręgu opisanego. Okręgi dziewięciu punktów są zbiorem tzw. okręgów Johnsona. Środki tych okręgów są współokręgowe i leżą na okręgu o takim samym promieniu, jak okręgi dziewięciu punktów, o środku w antycentrum czworokąta wpisanego. Co więcej, czworokąt utworzony ze środków czterech okręgów dziewięciu punktów jest obrazem wyjściowego czworokąta w jednokładności o skali i środku w punkcie dzielącym odcinek pomiędzy środkiem okręgu opisanego i antycentrum tak, aby .

Współrzędne trójliniowe środka okręgu dziewięciu punktów to

Współrzędne trójliniowe punktu Feuerbacha to

Współrzędne trójliniowe środka hiperboli Kieperta to

Uogólnienia Okrąg dziewięciu punktów jest krzywą stożkową przechodzącą przez dziewięć punktów trójkąta: środki boków, połowy odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum oraz spodki wysokości. Jeśli zamiast spodków wysokości trójkąta wziąć spodki dowolnych trzech, wychodzących z wierzchołków, przecinających się w jednym punkcie odcinków, to okaże się, że przez te punkty przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa zwana krzywą dziewięciu punktów.

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-08-27]. Nine-point circle , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-08-27].

Kategoria:Obiekty określone dla trójkąta Kategoria:Relacje między okręgami a innymi figurami Kategoria:Twierdzenia o trójkącie