W pierwszym przypadku jądrem może być wielomian zerowy. Oznacza to, że żaden inny wielomian nie znika dla elementu Element ten, nie będąc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielominanu, określa się jako przestępny. Homomorfizm będzie wtedy zanurzeniem. Wskazuje się wtedy izomorfizm pomiędzy zbiorem a i podobnie między zbiorem ilorazów elementów tego zbioru z Dowodzi się w takim wypadku, że jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych od co wskazuje na nieskończenie liczną bazę rozszerzenia .
W drugim przypadku jądrem będzie ideał generowany przez pewien wielomian nierozkładalny taki, że stanowi jego pierwiastek. Taki element rozszerzenia, będący pierwiastkiem niezerowego wielomianu z pierścienia nazywa się elementem algebraicznym nad tym ciałem. Wobec powyższego każdy wielomian wzięty z jeśli znika po podstawieniu za to należy do jądra Z uwagi na właściwości tegoż jądra musi więc być wielokrotnością Czyni to ten ostatni jedynym nierozkładalnym wielomianem przyjmującym dla wartość . W dalszych rozważaniach korzysta się z twierdzenia o izomorfizmie. Wynika z niego, że izomorficzne w stosunku do siebie są dwa pierścienie, z których pierwszy to a drugi to pierścień ilorazowy przez Jako że oznacza tutaj ideał maksymalny generowany przez drugi pierścień jest ciałem. Wobec izomorfizmu oba pierścienie to ciała.