Mając dany skądinąd „wzór podstawowy” (np. z twierdzenia Cayleya-Hamiltona, zob. wielomian charakterystyczny dalej) można uzyskać z niego rozwinięcie Laplace’a wskazując kombinację liniową współczynników i wektorów elementów przekątnej głównej macierzy we „wzorze podstawowym”.
Twierdzenie Cauchy’ego
„Wzór podstawowy” w połączeniu z wcześniejszymi własnościami umożliwia wyprowadzenie wzoru na wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych znanego jako twierdzenie Cauchy’ego:
gdzie korzysta się z przemienności mnożenia przez skalar (wyżej: wyznacznik) ze standardowym mnożeniem macierzy (albo z przemienności macierzy skalarnych z pozostałymi macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia), skąd
Z powyższego wzoru dla macierzy odwracalnej wynika czyli
Ponieważ to z własności wyznacznika i powyższego wzoru wynika
Wzory Cramera
Jeśli to prawostronne przemnożenie obu stron „wzoru podstawowego” przez daje skąd
o ile tylko Elementy macierzy nazywane są właśnie wzorami Cramera.
Wielomian charakterystyczny
Jeśli jest wielomianem charakterystycznym macierzy to na mocy twierdzenia Cayleya-Hamiltona zachodzi skąd
a ponieważ to oznaczając otrzymuje się
przy czym skąd uzyskuje się „wzór podstawowy”.
Wzór Jacobiego na różniczkę wyznacznika macierzy ma postać
gdzie oznacza różniczkę macierzy a symbol oznacza ślad macierzy.