Opisana metoda uzyskania operatora Hamiltona nazywa się pierwszym kwantowaniem.
Ponieważ funkcja Hamiltona istnieje tylko dla układów oddziałujących z polem sił potencjalnych (w tym sił potencjalnych uogólnionych), więc operator Hamiltona można napisać tylko dla takich układów. Jednak wyczerpuje to wszystkie interesujące przypadki rozpatrywane w mechanice kwantowej.
Hamiltonian pojedynczej cząstki Jeżeli cząstka o masie ma energię potencjalną zależną od jednej współrzędnej przestrzennej oraz czasu to funkcja Hamiltona jest sumą jej energii kinetycznej i energii potencjalnej
gdzie – pęd cząstki w kierunku osi
(Np. cząstka o masie m w polu grawitacyjnym Ziemi ma energię potencjalną gdzie – położenie cząstki nad poziomem odniesienia).
Operator Hamiltona uzyskany z wcześniej opisanego procesu kwantowania ma postać
gdzie: – operator pędu w kierunku osi – kwadrat operator pędu w kierunku osi
Hamiltonian elektronu w polu centralnym – zagadnienie atomu wodoru Aby opisać atom wodoru w ramach mechaniki kwantowej zakładamy, że elektron o ładunku i masie znajduje się w polu oddziaływania protonu (cząstki znacznie masywniejszej) o ładunku Funkcja Hamiltona elektronu (suma energii kinetycznej i energii potencjalnej) ma postać