gdzie: – pęd elektronu, – energia potencjalna oddziaływań elektrycznych elektronu i protonu; energia ta zależy od odległości r cząstek, a nie zależy czasu t. Pomijamy funkcję Hamiltona protonu – jest to pewne przybliżenie. Aby otrzymać dokładne rozwiązanie dla układu elektron-proton, powinno się uwzględnić także funkcję Hamiltona protonu.
W celu dokonania kwantowania funkcji Hamiltona zapisuje się pęd w układzie współrzędnych kartezjańskich,
i zastępuje się pędy operatorami otrzymując operator kwadratu pędu
gdzie – operator Laplace’a.
Dalej, zapisując operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych otrzyma się
Stąd ostatecznie Hamiltonian ma postać
Wstawiając ten Hamiltonian do równania Schrödingera i rozwiązując je otrzyma się energie dozwolone elektronu w atomie wodoru i odpowiadające im funkcje falowe;