Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą z wypukłymi podzbiorami Funkcjonały Minkowskiego są podliniowe (podaddytywne i dodatnio jednorodne). Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami. Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu istnieje taki funkcjonał liniowy na przestrzeni że i dla każdego elementu przestrzeni Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone. Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do pisze się często Dodatkowo, ze względu na ich liniowość, pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast bądź pisze się po prostu lub W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.
Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej W dalszej części artykułu oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych.