W przestrzeni można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał
O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni często oznacza się tym samym symbolem, co normę w W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np. Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych z naturalną metryką modułową są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa, przestrzeń jest przestrzenią Banacha (bez względu na to, czy jest nią ). Jeżeli jest przestrzenią ośrodkową, to istnieje taki zbiór przeliczalny zawarty w kuli jednostkowej przestrzeni że dla Jeżeli przestrzeń jest ośrodkowa, to też taka jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni jest przestrzeń która nie jest ośrodkowa.
Topologie w przestrzeni sprzężonej Jeśli jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej to symbolem oznacza się słabą topologię w to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z są ciągłe.
W przestrzeni można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań
postaci
jest ciągłe.