Postać w kartezjańskim układzie współrzędnych Równanie wektorowe NS dla poszczególnych współrzędnych przyjmuje postać
gdzie użyto oznaczeń pochodnych cząstkowych oraz
Wyprowadzenie Wyprowadzenie rozpoczyna się od równania pędu Cauchy’ego zapisanego w kartezjańskim układzie współrzędnych (upraszczający obliczenia i stanowiącym punkt wyjścia dla innych układów wsp.), dla którego gdzie w ostatniej równości po prawej działania możemy traktować jak mnożenie/transpozycje wektorów i macierzy (co również będziemy wykorzystywali w dalszej części wyprowadzenia):
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left" !Uwagi dotyczące notacji
Operator nabla Ponieważ operator nabla nie jest przemienny tj. działa tylko prawostronnie - przykładowo
po lewej stronie wyliczamy gradient z iloczynu funkcji fg, w środku liczymy iloczyn funkcji f i gradientu funkcji g, po stronie prawej z kolei dostajemy operator, który liczy gradient argumentu, po czym mnoży go przez iloczyn fg - co jest widoczne w formie macierzowej
Zatem równość prawdziwa dla macierzy nie zachodzi dla operatora nabla tj.
po lewej otrzymujemy operator, a po prawej już zróżniczkowany wektor - co jest bardziej widoczne w postaci macierzowej