Ponadto metoda Lagrange’a nie obejmowała równań piątego stopnia i wyższych, gdyż rezolwenta ma wtedy wyższy stopień.
Równania piątego stopnia
Fakt, iż nie można podać ogólnego rozwiązania równań piątego stopnia wyrażonych przez pierwiastniki, został nieomalże dowiedziony przez Paolo Ruffiniego w 1799 roku: kluczem było wykorzystanie grup permutacji, a nie tylko pojedynczej permutacji. Rozwiązanie przez niego podane zawierało lukę, którą Cauchy uważał za możliwą do uzupełnienia; mimo wszystko nie udało się jej usunąć nikomu, aż do 1824 roku, kiedy to norweski matematyk Niels Henrik Abel opublikował dowód twierdzenia znanego dziś jako twierdzenie Abela-Ruffiniego.
Choć Ruffini i Abel dowiedli, że ogólne rozwiązanie równań piątego stopnia nie istnieje, to jednak istnieją szczególne rozwiązania pewnych równań piątego stopnia; przykładem może być wielomian Dokładne kryterium określające rozwiązalność danego wielomianu piątego lub wyższego stopnia zostało sformułowane przez Évariste’a Galois w 1830 roku, który pokazał, że rozwiązalność wielomianu jest równoważna temu, czy grupa permutacji jego pierwiastków ma określoną strukturę – w języku współczesnym: czy jego grupa Galois jest rozwiązalna.