Grupa ta jest zawsze rozwiązalna dla wielomianów stopnia czwartego i mniejszych, jednak nie zawsze dla wielomianów stopnia piątego i wyższych, co tłumaczy, dlaczego nie istnieją ogólne rozwiązania równań wyższych stopni.
Teoria Galois
Twórcy teorii, Abel i Galois, zwracali uwagę na znaczenie ich odkryć dla teorii funkcji zespolonych, np. funkcji eliptycznych; później okazało się, że mieli rację: odpowiednie grupy Galois niezależnie zdefiniowano topologicznie, jako grupy przekształceń nakrywających rozgałęzionych nakryć sfery.
Teoria Galois, a właściwie prace Galois, Abela i Ruffiniego nie znalazły szerokiego oddźwięku wśród współczesnych, co było zarówno kwestią mody (brak zainteresowania matematyką dyskretną), jak i zwięzłości stylu oraz krótkiego życia twórców. Teoria Galois uzyskała rozgłos dzięki Josephowi Liouville’owi, który wydał prace Galois i Camille’owi Jordanowi, a głównie jego Traité des substitutions et des équations algebraique z 1870 roku. Jordan podjął badania tam, gdzie zakończyła je śmierć Galois, co umożliwiło dalszy rozwój teorii grup.