Teoria Galois podlegała dalszemu rozwojowi w XX wieku, np. opracowano teorię Galois dla pierścieni, znalazła także szereg zastosowań w teorii liczb algebraicznych, teorii algebr nad ciałami, w geometrii algebraicznej; rozwinęły się z niej nowe dziedziny, np. kohomologie Galois. W samej teorii Galois wciąż intensywnie badane jest na przykład zagadnienie odwrotne teorii Galois.

Podejście klasyczne Może się zdarzyć, że dla danego wielomianu niektóre z jego pierwiastków związane są ze sobą różnego rodzaju równaniami algebraicznymi. Przykładowo może okazać się, że dla dwóch spośród jego pierwiastków oznaczanych dalej i spełnione jest równanie Zasadniczą ideą teorii Galois jest rozpatrywanie tych permutacji (uporządkowań) pierwiastków, dla których dowolne równanie algebraiczne spełniane przez te pierwiastki jest nadal spełniane po zmianie uporządkowania pierwiastków. Istotne jest zastrzeżenie ograniczenia się do równań algebraicznych o współczynnikach wymiernych (można również określić pewne ciało, do którego powinny należeć współczynniki, lecz w poniższych prostych przykładach wykorzystywane będzie ciało liczb wymiernych).

Permutacje te tworzą razem grupę permutacji nazywaną grupą Galois wielomianu (nad liczbami wymiernymi).