Wyjaśnione to zostanie w przykładzie.
Przykład: równanie kwadratowe Niech dane będzie równanie kwadratowe
Rozwiązując je znajduje się dwa pierwiastki
Równaniami algebraicznymi spełnianymi przez i są m.in.
oraz
Oczywiście zamieniając w dowolnym z powyższych równań kolejność pierwiastków i uzyskuje się inne prawdziwe zdanie. Przykładowo staje się po prostu Co więcej, choć jest to mniej oczywiste, że jest tak dla każdego równania algebraicznego o współczynnikach wymiernych spełnianego przez pierwiastki i dowiedzenie tego wymaga teorii wielomianów symetrycznych.
Można więc wnosić, że grupa Galois wielomianu składa się z dwóch permutacji: permutacji tożsamościowej, która pozostawia i niezmienionymi oraz permutacja transponująca, która zamienia i Jest to grupa cykliczna rzędu dwa, jest więc izomorficzna z
Można by przypuszczać, iż i związane są ze sobą jeszcze jednym równaniem algebraicznym,
które nie jest spełnione przy zamianie i Równanie to nie jest jednak istotne, gdyż nie ma ono współczynników wymiernych;