Funkcja jest holomorficzna w sensie Gâteaux, jeżeli dla dowolnych oraz i każdego ciągłego funkcjonału liniowego określonego na funkcja
jest funkcją holomorficzną zmiennej w otoczeniu Zbiór funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux oznacza się symbolem
W analizie funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux wszystkie własności skończeniewymiarowych funkcji holomorficznych są spełnione na podprzestrzeniach skończonego wymiaru. Jednak, tak jak w zwykłej analizie funkcjonalnej, własności te mogą nie składać się w sposób jednorodny w całość, by dać jakiekolwiek odpowiadające im własności tych funkcji na pełnych zbiorach otwartych.
Przykłady Jeżeli jest określona na to ma ona pochodne Gâteaux wszystkich rzędów, ponieważ dla oraz pochodna Gâteaux -tego rzędu zawiera wyłącznie iterowane pochodne kierunkowe w kierunkach otoczki która jest przestrzenią skończenie wymiarową. W tym przypadku iterowane pochodne Gâteaux są wieloliniowe względem ale w ogólności nie są one liniowe, gdy rozważa się je jako określone na całej przestrzeni