Więcej, obowiązuje wersja twierdzenia Taylora:
Symbol oznacza wielomian jednorodny stopnia zmiennej związanej z operatorem wieloliniowym Zbieżność tego szeregu nie jest jednostajna: jeżeli jest ustaloną podprzestrzenią skończonego wymiaru, to szereg zbiega jednostajnie na dowolnie małych otoczeniach jednak jeżeli może być zmienna, to nie ma zbieżności – nie będzie jej w ogólności, o ile zezwoli się na tę zależność. Stoi to w całkowitej sprzeczności z przypadkiem skończeniewymiarowym.
dla funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux zachodzi twierdzenie Hartoga w następującym sensie: Jeżeli jest funkcją, która jest holomorficzna w sensie Gâteaux oddzielnie ze względu na każdy z jej argumentów, to wtedy jest holomorficzna w sensie Gâteaux na przestrzeni produktowej.
Hipoanalityczność Funkcja jest hipoanalityczna (ang. hypoanalytic), jeżeli oraz jest ciągła na warunkowo zwartych podzbiorach
Holomorficzność Funkcja jest holomorficzna, jeżeli dla każdego rozwinięcie w szereg Taylora
(którego istnienie wynika już z holomorficzności w sensie Gâteaux) jest zbieżne i ciągłe względem w otoczeniu Holomorficzność łączy więc pojęcia słabej holomorficzności ze zbieżnością rozwinięcia w szereg potęgowy.