HB Tórshavn zdobył wtedy mistrzostwo Wysp Owczych.
Z racji tego mistrzostwa dostał możliwość uczestnictwa w Lidze Mistrzów UEFA 2003/04, gdzie przegrał dwumecz z litewskim FBK Kowno 1:5 (0:1, 1:4). Akselsen zagrał w obu meczach i był to jego pierwszy występ w europejskich pucharach. Dla HB w sezonie 2003 rozegrał dwadzieścia cztery spotkania i zdobył osiem bramek.
FS Vágar Na krótko w roku 2004 Akselsen przeniósł się na rodzimą wyspę, by rozegrać osiem meczów i strzelić pięć bramek w swoim pierwszym klubie FS Vágar, który grał wtedy w drugiej lidze i zajął w niej ostatecznie szóste miejsce.
HB Tórshavn Po tym krótkim epizodzie Akselsen ponownie znalazł się w składzie HB Tórshavn. W sezonie 2005 zagrał w dwudziestu dziewięciu spotkaniach i zdobył dziewięć bramek. Jego klub zajął trzecie miejsce w tabeli ligowej.
Rok później HB Tórshavn zdobył mistrzostwo archipelagu. Akselsen wystąpił w dwudziestu dziewięciu meczach i zdobył sześć bramek.