Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.
Suma prosta odwzorowań Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi i
definiuje się ich sumę prostą
wzorem
Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz
to wzór
definiuje przekształcenie
nazywane sumą prostą rodziny odwzorowań
Suma prosta przestrzeni Banacha Jeżeli jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej
nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego.