definicję ciągłości funkcji poprzez odwołane się wyłącznie do pojęcia zbiorów otwartych: funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego otwartego zbioru jest otwarty w .
Aksjomaty topologii (rodziny zbiorów otwartych) Definicja (przestrzeni topologicznej, topologii).
Niech dany będzie zbiór i niech będzie rodziną podzbiorów zawartych w spełniającą następujące warunki:
(a1) zbiór oraz zbiór pusty należą do
(a2) część wspólna dowolnych dwóch zbiorów należących do także należy do
(a3) suma dowolnej mnogości zbiorów (skończonej, przeliczalnej lub nawet nieprzeliczalnej) należących do także należy do , tj. jeżeli jest dowolną rodziną zbiorów zawartych w , to suma zbiorów tej rodziny też należy do :
Zbiór nazywa się przestrzenią topologiczną. Rodzinę nazywa się topologią w zbiorze lub rodziną zbiorów otwartych. Elementy rodziny nazywa się zbiorami otwartymi.
Uwaga 1: Zbiór można nazwać przestrzenią topologiczną tylko wtedy, gdy została zdefiniowana rodzina jego podzbiorów . Dlatego niektórzy autorzy przestrzenią topologiczną nazywają parę uporządkowaną ( ), składającą się ze zbioru oraz określonej na nim topologii .