rodzina zbiorów jest topologią w .
Dowód:
Sprawdzamy, czy są spełnione aksjomaty topologii.
(a1) jest spełniony, gdyż
(a2) jest spełniony, gdyż ,
(a3) jest spełniony, gdyż .
Uwaga: to najuboższa topologia, jaką można zdefiniować w danym zbiorze . Topologię tą nazywa się topologią antydyskretną lub trywialną.
Przykład 2
rodzina zbiorów jest topologią w .
Dowód:
(a1) jest spełniony, gdyż
(a2) jest spełniony, gdyż
(a3) jest spełniony, gdyż
Uwaga: Zbiór nazywa się topologią punktu wyróżnionego. W tym przypadku punktem wyróżnionym jest singleton
Przykład 3
; rodzina zbiorów jest topologią w .
Dowód:
(a1) jest spełniony, gdyż oraz .
(a2) części wspólne wszystkich par zbiorów z mają należeć do .
Część wspólna i dowolnego zbioru z daje ten zbiór, a więc te części wspólne należą do . Część wspólna i dowolnego zbioru z daje , a więc te części wspólne należą do . Pozostały do sprawdzenia części wspólne par zbiorów:
(a3) suma dowolnej liczby zbiorów z ma należeć do .
Ponieważ każda suma zawierająca daje w wyniku , a dodanie nie zmienia wyniku, wystarczy sprawdzić sumy podrodzin złożonych z pozostałych elementów, tj. z :
Wszystkie uzyskane sumy należą do rodziny , co kończy dowód.
Przykład 4
zbiór jest topologią w .