Dowód: Analogicznie jak wyżej sprawdzamy, że są spełnione aksjomaty topologii.
Przykład 5
zbiór nie jest topologią w , gdyż nie jest spełniony aksjomat (a3): w brakuje sumy
Przykład 6
zbiór nie jest topologią w , gdyż nie jest spełniony aksjomat (a2): w brakuje części wspólnej
Zbiory domknięte i otwarto-domknięte Definicja. Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywa się zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.
Definicja. Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte, nazywa się zbiorami otwarto-domkniętymi.
Twierdzenie. Zbiór oraz zbiór pusty są zbiorami domknięto-otwartymi.
Dowód: oraz , więc domkniętość zbiorów jest konsekwencją aksjomatu (a1) i definicji zbioru domkniętego, cnd.
Twierdzenie. Suma skończona zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Twierdzenie. Część wspólna dowolnej mnogości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Dowód: Powyższe dwa twierdzenia wynikają z aksjomatów (a2) i (a3) oraz praw de Morgana, na mocy których dla dowolnej rodziny podzbiorów przestrzeni zachodzą związki
1) dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień
2) dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień